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\AtBeginNote{Notas:\par}
% ===============================================================
% ===============================================================

% ===============================================================
% =================== DATOS DEL DOCUMENTO =======================
% ===============================================================
\author{Pablo A. Iturralde}
\date{04 de Julio de 2011}
\title{\textit{Beamforming}}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Imaginería acústica}

\subsection{Problema (en 2D)}
\begin{frame}

\begin{itemize}
 \item Generar una imagen ($I(x,y)$) de un espacio dado, a partir de una señal acústica $y_i(t')$ proveniente del espacio de interés, recibida en uno o varios transductores.
 \item En general la señal de los transductores corresponde a la amplitud del desplazamiento normal a los mismos en el punto del espacio donde están colocados $(x',y')$.
 \item Para conocer la señal en su totalidad sería bueno conocer también la fase, pero eso no es posible usualmente.
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Modelado (lineal)}
\begin{frame}
 \begin{itemize}
  \item Modelando como un sistema lineal: $y_i(t') = y(\vec{r'}_i,t') = \int \int_V x(\vec{r},t)h(\vec{r},t,\vec{r'},t')d\vec{r} dt$
  \item $x(\vec{r},t)$ : Señal en el punto dado por $\vec{r}$ en el instante $t$.
  \item $h(\vec{r},t,\vec{r'},t')$ : Respuesta causada en $\vec{r'}$ en el instante $t'$ debido a un impulso en $\vec{r}$ en el instante $t$ (impulso en el espacio y en el tiempo).
  \item Si aceptamos el principio de Huygens: $h(\vec{r},t,\vec{r'},t') = \frac{\delta(t'- t - \frac{|\vec{r} - \vec{r'}|}{c})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} = h(|\vec{r'} - \vec{r}|,t'-t)$ (invariante!).
 \end{itemize}
Notar que la 'transferencia' es un retraso temporal y una atenuación.

\end{frame}


\subsection{Beamforming}
\begin{frame}
\begin{itemize}
 \item Caso particular en el que se cuenta con un array de sensores registrando en simultáneo ($i=1..N$).
 \item Usado en radares, sonares, exploración del espacio (telescopios de radio) y antenas en general.
 \item Teniendo múltiples receptores, se puede combinar las señales adecuadamente para quedarse sólamente con las que provienen de un punto particular del espacio (filtrado espacial). 
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Beamforming pasivo}
\begin{frame}
\begin{itemize}
 \item Solo conozco la señal en llegada ($y_i (\vec{r'}_i, t')$) y no el pulso que la provocó ($x(\vec{r},t)$).
 \item El objetivo es pasar a conocer algo de $x$ (origen espacial y/o temporal, forma, duración).
\end{itemize}
\end{frame}
 
\subsection{Estrategia}
\begin{frame}
Idea original: \textit{delay and sum}. Se retrasa cada uno de los canales disponibles una cantidad adecuada para que todos queden en fase respecto de una señal proviniente de un punto dado y se suman las contribuciones de todos los canales.\\

\begin{equation}
 z(\vec{r},t)=\sum w_i.y_i(t+t_i)
\end{equation} 

Para el origen considerado, las señales interferirán constructivamente y lo harán en forma destructiva para el resto del espacio (esperemos!).\\

\vspace{.5cm}
Problema: al trabajar en una versión discreta, los desfasajes $t_i$ no son enteros y por lo tanto se requiere algún tipo de interpolación, que determinará finalmente cuán buena será la señal obtenida.
\end{frame}

\begin{frame}
Generalizando la idea anterior, se obtiene un filtrado lineal (asumiendo conocida la señal $y(\vec{r'},t')$ en un intervalo continuo):\\
\begin{equation}
 z(\vec{r},t) = \int \int  y(\vec{r'},t')w(\vec{r},t,\vec{r'},t') d\vec{r}'dt'
\end{equation}

\vspace{.5cm}
O lo que es lo mismo (aceptando la invarianza temporal y espacial del sistema): 
\begin{equation}
Z(f_r,f) = Y(f_r,f)W(f_r,f) = X(f_r,f)H(f_r,f)W(f_r,f)
\end{equation} 

\vspace{.5cm}
Donde tenemos un problema de filtrado inverso clásico, y alcanzaría con tomar $W=H^{-1}$.
\end{frame}


\subsection{Limitaciones}
\begin{frame}

\vspace{.5cm}

 Si  $h_1=h(\vec{r_1},t_1,\vec{r'},t')$ y  $h_2=h(\vec{r_2},t_2,\vec{r'},t')$ son similares, la señal que generan ambos pulsos en el array es la misma (o casi indistinguible).\\

\vspace{.5cm}
 El producto escalar $<h_1.h_2>$ determina la capacidad de distinguir entre ambas situaciones.\\

\vspace{.5cm}

\begin{scriptsize}
Ejemplo 1: puntos alineados en campo lejano, donde el efecto que producen es de ondas planas en recepción, con un retraso proporcional a la distancia entre ambos puntos. Hay indistinguibilidad por una dualidad en espacio-tiempo (puedo conocer con certeza la dirección de donde proviene el pulso, pero no su distancia respecto del receptor). Se podría solucionar si se conociera el origen temporal de las señales (¿cuándo se produjo el pulso?).\\

\vspace{.5cm}

Ejemplo 2: 2 puntos cualesquiera cercanos (en el espacio) tendrán respuestas similares. Esto implica que aún conociendo el origen temporal de la señal, no es fácil reconocer el origen. Ocurre también en campo lejano para puntos que pertenecen a una línea paralela al array.

\end{scriptsize}
\end{frame}

\section{Beamforming activo}
\subsection{Diferencias con versión pasiva}
\begin{frame}
Conozco el pulso original $x(\vec{r},t)$, o al menos un pulso transmitido por algunos transductores ($x_e(\vec{r'},t')$) y, eventualmente, hasta puedo elegir $x_e$.\\

\vspace{.5cm}
El pulso emitido se propaga (en forma análogo a lo visto anteriormente) y da lugar a la excitación considerada anteriormente cuando se encuentra con un obstáculo en algún punto $\vec{r}$ (Huygens):

\begin{equation}
 x(\vec{r},t) = \delta(\vec{r} \in Obstaculos ) * \int \int_S x_e(\vec{r'},t')h'(\vec{r},t,\vec{r'},t')d\vec{r'} dt'
\end{equation} 
(Integración sobre la superficie de emisión en este caso!)\\

\end{frame}

\subsection{Estrategia}
\begin{frame}
 Basado en lo anterior:
\begin{equation}
 X(f_r,f)=Obst(f_r) . Xe(f_r,f)H'(f_r,f)
\end{equation} 

\vspace{.5cm}
Otra vez planteando un filtro lineal:
 \begin{equation}
  Z(f_r,f) = Y(f_r,f)W(f_r,f) = X(f_r,f)H(f_r,f)W(f_r,f) 
 \end{equation} 
\begin{equation}
  Z(f_r,f) = Xe(f_r,f)H'(f_r,f)H(f_r,f)W(f_r,f) . Obst(f_r)
\end{equation} 

\vspace{.5cm}
Donde ahora puedo elegir: $W=X_e^{-1}H^{-1}H'^{-1}$ y obtener $Obst(f_r)$ directamente.
\end{frame}

\subsection{Ventajas y limitaciones}
\begin{frame}
 Por un lado, el conocer el pulso ya soluciona una de las limitantes del \textit{beamforming} pasivo. Adicionalmente, pasamos a tener un mecanismo que nos libera del pulso $x$ que en general no es lo que se desea conocer.\\

\vspace{.5cm}
Sin embargo, la limitación de distinción espacial permanece (es imposible distinguir entre puntos para los que $h$ y $h'$ son similares).\\

\vspace{.5cm} 
Se habla entonces de un problema intrínseco de resolución de puntos y de la apertura focal del array (F) como parámetro para medir la capacidad de distinguir puntos (hay que limitarse a trabajar en el campo cercano).
\end{frame}


\section{Discretización del problema}
\subsection{Resoluciones temporal y espacial}
\begin{frame}
\begin{Large}
\vspace{1cm}
\begin{itemize}
 \item Muestreo temporal: Nyquist
  \vspace{1cm}
 \item Distancia entre elementos del array
\vspace{1cm}
 \item Tamaño de los elementos del array
\end{itemize}
\end{Large}
\end{frame}

\subsection{Problemas (aliasing)}
\begin{frame}
\vspace{1cm}
 \begin{itemize}
  \item Aliasing temporal si la frecuencia de muestreo no es suficiente. Importante si se desea realizar interferencia destructiva de ciertas ondas.
\vspace{1cm}
  \item Aliasing espacial debido a distancia inadecuada entre elementos del array???
 \end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Limitaciones finales}
\begin{frame}
\vspace{1cm}
 \begin{itemize}
  \item ¿Cuál es la máxima resolución espacial a la que puedo aspirar? (a efectos de complejidad computacional: ¿cuál es la grilla más gruesa que contiene máxima información?)
\vspace{1cm}
  \item ¿De qué depende la resolución? ($x_e$, frecuencia de muestreo. distancia entre elementos del array, tamaño de los elementos del array)? Análisis pendiente!
 \end{itemize}

\end{frame}


\section{Referencias}
\begin{frame}
 \begin{itemize}
  \item Las debo!
 \end{itemize}

\end{frame}


\end{document}
